توضیحات

تحقیق جبر خطی تبدیل خطی

یکی از بهترین راه ها برای مطالعه ی عملگرهای خطی استفاده از نمایش ماتریسی است. برای شروع فرض کنید که یک ماتریس دلخواه m×n به نام A داریم. در این صورت عملگر ضرب ماتریسی T|υ⟩ = A|υ⟩ را که بردار ستونی n تایی υ⟩∈Cⁿ| از اعداد مختلط را به برداری m تایی می برد در نظر بگیرید. این عملگر خطی است

بنابراین هر عملگر که با ضرب ماتریسی تعریف می شود یک عملگر خطی است. اما آیا متناظر با هر عملگر خطی ، یک ماتریس وجود دارد که دقیقا همان کار را انجام دهد؟ جواب این سوال مثبت است اما قبل از اینکه این ماتریس را بسازیم، باید برای فضاهای و یک پایه مشخص کنیم. فرض کنید . همچنین فرض کنید که پایه ای دلخواه برای فضای و پایه ای دلخواه برای فضای باشد. اگر اثر عملگر خطی را بر روی بردارهای پایه بدانیم، آنگاه عملگر خطی را به صورت کامل شناسایی کرده ایم، چون هر بردار را می توان بر حسب ترکیب خطی بردارهای پایه نوشت و با استفاده از خطی بودن عملگر می توان اثر عملگر را بر آن بردار دلخواه یافت. بنابراین لازم و کافی است که اثر عملگر ررا بر روی بردارهای پایه پیدا کنیم. اثر عملگر T بر روی بردار پایه برداری در فضای بوده، بنابراین می توان آن را به صورت ترکیب خطی بردارهای پایه ی نوشت.

و الی آخر. حال اگر این ضرایب را در یک ماتریس m×n قرار دهیم (بطوری که ستون اول ماتریس ضرایب مربوط به ، ستون دوم ضرایب مربوط به و … را دارا باشند)، به “نمایش ماتریسی” عملگر خطی T درپایه های فوق می رسیم. نشان می دهیم که ضرایب عملگر خطی T را به صورت یکتا مشخص می کنند. بردار دلخواه را در نظر بگیرید. این بردار را می توان بر حسب ترکیب خطی اعضای پایه ی نوشت.

فهرست مطالب تحقیق جبر خطی تبدیل خطی