توضیحات

عنوان: ارزیابی دیدگاه های اویلری و لاگرانژی

مکانیک سیالات
دیدگاه لاگرانژ
دیدگاه اویلر
مراجع

مکانیک سیالات

حرکت شناسی شاخه ای از مکانیک است که با مقادیر مربوط به فضا وزمان کار دارد. این متغیرهای مورد بحث مانند جابجایی، سرعت، شتاب، تغییر شکل،و چرخش عناصر مایع بدون مراجعه به نیروهای مسئول نظیر حرکت هستند، سینماتیک اساسا توصیف “ظاهر” از یک حرکت، برخی از مفاهیم مهم جنبشی در این تحقیق است.

تفاوت اصلی بین مایعات و جامدات این است که مایعات بدون محدودیت منحرف میشوند. برای مثال، اگر یک تنش برشی همانند شکل1 به یک مایع اعمال می شود، همانطور که در شکل 1 نشان داده شده،پس از آن لایه ای از ذرات مایع نسبت به یکدیگر حرکت خواهد کرد حتی پس از متوقف شدن تنش برشی ذرات نمی خواهند به جایگاه اصلی خود بازگردند.

شکل1. حرکت لایه سیال روی لایه دیگر، عدم برگشت لایه ها حتی با توقف نیرو

یکی از روش های تاریخی از پیش برجسته برای تحلیل حرکت که شامل شناسایی ذرات خاص و یا اشیاء ومسیر خود است، روش نیوتن نام دارد. این روش برای حرکت ذرات و زیر پرتابه و به طور سنتی به عنوان فرمول لاگرانژی ذرات شناخته شده در مکانیک است. در این روش موقعیت ذره متغیر اصلی است و سرعت ذرات، و شتاب را می توان با مشتقات اول و دوم بردار تغییر مکان به دست آورد که در دیدگاه لاگرانژ کامل به این امر پرداخته میشود.

اسـتفاده از روش بـرهمكنش سـيال و جامـد بـراي مدلـــسازي همزمـــان ســـيال و جامـــد از مباحـــث جديـــد مطرح شده در مهندسي مكانيك است. برهمكنش سيال و جامد زماني اتفاق ميافتد كه سيال با جامد برخورد داشـته و حركـت سيال و جامد وابسته به يكديگر باشد. بـه عبـارت ديگـر، تـنش اعمالي از سـيال باعـث تغييـر شـكل يـا حركـت جامـد شـده و متعاقب آن تغيير شكل يا حركت جامد نيز در ميدان جريـان اوليـه سيال تأثير ميگذارد. حركت سيال و جامد ميتواند بـا دو ديـدگاه لاگرانژي و اويلري بيان شود. در فرمولبندي لاگرانژي، حركت اجزا در ميدان محاسباتي ردگيري ميشود؛ در حالي كـه در فرمولبنـدي اويلري، ذرات از شبكه محاسباتي ثابت عبور مـيكننـد.

بـه همـين دليل عموماً فرمولبندي لاگرانژي براي جامد و فرمولبندي اويلـري براي سيالات استفاده ميشود. براي حل عددي معادلات حاكم بـر ميدان سيال، از روشهاي اجزاي محدود، تفاضل محدود و حجم محدود در مختصات مرجع اويلري و در نقاط ثابت فضايي شبكه محاسباتي استفاده ميشود. با اينكـه مختـصات مرجـع اويلـري در ميدانهاي جريان با ديواره ثابت نتايج خوبي را ارائه ميدهد ولي در مدلسازي سيال با مرز متحرك و مسائل FSI¹ كه در آن خود شبكه محاسباتي (كه ذرات از آن عبور ميكننـد) نيـز تغييـر مـيكنـد، بـا مشكلات فراواني مواجه ميشود. اين گونه مسائل در مواردي چون مدلسازي جريان سيال عبوري از لولهاي الاستيك (مجاري تنفـسي، جريان خون در عروق، مجاري سيـستمهاي گـوارش و دفـع ادرار و …)، شناي جانوران دريايي و حركت دريچه قلب مطـرح اسـت.

هر دو روش لاگرانژی و اویلری را می توان تجزیه و تحلیل استفاده رفتار یک سیال دانست. به طور کلی، با این حال، روش اویلری ثابت شده بسیار ساده تر است به دلیل بالا بودن تعداد ذرات در یک جریان سیال معمولی و بالا بودن حجم مشکل که در ردیابی هر مولکول است. برای مثال در هر مترمکعب هوا در دمای اتاق مولکول وجود دارد، این نشان دهنده یک چالش حتی با بزرگترین امکانات محاسباتی جاری است.

همانطور که به خوبی شناخته شده است، جریان سیال را می توان در شرایط فعلی از ذرات موقعیت سیال مشخص (مختصات اویلری)، و یا در قالب موقعیت اولیه خود (مختصات لاگرانژی( مشخص نمود. برای سیال ایده آل (غیر لزج) تراکم ناپذیر دو فرمولاسیون در قرن 18 معرفی شد. از هر دو لحاظ نظری و عددی این دیدگاه، فرمول اویلری به نظر می رسد به یک لبه قابل توجهی است چرا که یک عبارت صریح درجه دوم برای زمان مشتق سرعت دارد.مولفه های مختصات کارتزین به صورت که مولفه های سرعت در این دستگاه مختصات برابر است با

موقعیت یک ذره در فضا را می‌توان با سه سیستم مختصات مشخص کرد. این سیستمها عبارتند از سیستمهای کارتزین ، کروی و استوانه‌ای ، یا در حقیقت هر سه پارامتر مناسب دیگری که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در یک صفحه یا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه برای مشخص کردن موقغیت ذره نیاز است، در حالیکه

——————————————————-

¹ Fluid Structure Interaction

اگر ذره روی یک خط مستقیم یا یک منحنی ثابت حرکت کند، ذکر یک مختصه کافی خواهد بود. اما در مورد یک سیستم متشکل از N ذره ، برای تشخیص کامل موقعیت همزمان تمام ذرات به 3N مختصه نیاز خواهیم داشت.

اگر محدودیتهای بر سیستم اعمال شده باشد، تعداد مختصات لازم برای مشخص کردن پیکربندی کمتر از 3N خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر سیستم مورد نظر یک جسم صلب باشد، برای مشخص کردن پیکربندی آن فقط به موقعیت مکانی یک نقطه مرجع مناسب از جسم (مثلا مرکز جرم) و جهت یابی آن نقطه در فضااحتیاج داریم. بنابراین در حالت کلی برای مشخص کردن پیکربندی یک سیستم خاص ، احتیاج به تعداد حداقل معین n مختصه نیاز است. این مختصات رامختصات تعمیم یافته می‌گویند.

شکل2. موقعیت ذره در مختصات کارتزین