پروژه آموزشی خطی سازی و اعمال کنترلی سیستم دینامیکی با متلب

سیستم دینامیکی زیر را در نظر گرفتیم (𝛿𝐸 ورودی و بقیه متغیرهای حالت سیستم هستند)

1- سیستم فوق را حول نقطه تعادل خطی سازی و ماتریسهای فضای حالت را بدست آوردیم.

2- مقادیر ویژه و بردارهای ویژه سیستم را بدست آورده و در مورد پایداری سیستم خطی شده توضیح داده ایم.

3- کنترل پذیری و مشاهده پذیری سیستم را بررسی کرده ایم.

4- تابع تبدیل خروجی به ورودی را بدست آورده ایم.
5- سیستم را قطری سازی کرده و با استفاده از آن بار دیگر در مورد مشاهده پذیری و کنترل پذیری سیستم قضاوت کرده ایم.

6- مقادیر ویژه سیستم قطری شده را با سیستم اصلی مقایسه کرده ایم.

7- با طراحی سیستم کنترل فیدبک حالت، ریشه های سیستم دینامیکی را در 0.5- و −1±𝑖جایابی کردیم.

8- با انجام شبیه سازی پاسخ سیستم (خروجی) حلقه باز و حلقه بسته را به یک ورودی پالس را پس از رهایی سیستم از نقطه تعادل مقایسه کرده ایم.(ورودی پالس اعمال یک ورودی در زمان محدود مثلا 2 ثانیه و قطع کردن ورودی پس از آن است.) بهتر است ورودی پالس حداقل دو ثانیه پس از شروع شبیه سازی به سیستم اعمال شود.

9- یک مشاهده گر برای سیستم دینامیکی طراحی کردیم که مقادیر ویژه آن در 0.5- و −2.1±2.1424𝑖 قرار گیرد.

10- با بهره های کنترلی که که در بند 7 بدست آمده و فیدبک حالت را با استفاده از خروجی های مشاهده گر طراحی شده در قسمت قبل انجام داده و شبیه سازی مشابه با بند 8 را انجام داده و پاسخ سیستم (خروجی) را برای هر سه حالت در نمودار رسم کرده و با هم مقایسه کردیم.

قسمتی از گزارش کار حل مسئله:

وقتی یک معادله دیفرانسیل غیرخطی را خطی میکنیم، در واقع خطی سازی را برای ورودی های سیگنال کوچک حول پاسخ حالت ماندگار انجام می دهیم. این پاسخ حالت ماندگار تعادل یا Equilibrium نامیده شده و یافتن آن جهت فرایند خطی سازی الزامی است. با فرض ورودی 𝛿𝐸=0 (با توجه به این که به ورودی خاصی اشاره نشده است) 𝑋̇=0 قرار می دهیم. حاصل حل این معادله ، که برای سیستم غیرخطی ممکن است بیش از یک پاسخ داشته باشد، نقطه تعادل سیستم است. در صورتی که نقطه تعادل (غیر از مبدا) خاصی مد نظر باشد، برای سادگی در محاسبات و طراحی می توان آن را به نقطه تعادل در مبدا منتقل کرد. در اینجا متغیرهای حالت را با استفاده از دستور syms به صورت سمبولیک در متلب تعریف کرده و پس از نوشتن معادلات سیستم حاصل 𝑋̇=𝑓(𝑋,0)=0 را می یابیم؛ در این قسمت در ابتدا از دستور solve متلب استفاده نمودیم که به علت عدم توانایی آن برای حل این معادله، به پیشنهاد متلب از دستور vpasolve جهت حل عددی استفاده نمودیم :