شبیه سازی آموزشی الگوریتم آرنولدی چبیشف با متلب

یک ماتریس اصلی داریمA (از ماتریس مارکت میگیریم)ماتریس اسپارس(خلوت) هست و یک بردار اولیه v ( در تکرار اول دلخواه میگیرد اما تکرارها بعدی الگوریتم چبیشف تولیدش میکند)، طی عملیاتی که انجام میدهد عناصر ماتریس هسنبرگیH را میسازد. هدف از الگوریتم آرنولدی این است که عناصر H را بسازد .

بردار اولیهv را میسازد در حالت کلی، 

که این بردار اولیه تولید شده ورودی الگوریتم ارنولدی هست همانطور که اشاره شد.

یک برنامه که از هر دو تابع بالا استفاده میکند و مقادیر ویژه ماتریس اصلیA با توجه به مقادیر ویژه ماتریس H تقریب میزند،به این صورت که الگوریتم آرنولدی را m بار اجرا میکند و ماتریس H, ر میسازد که V یک ماتریس هست که ستونهایش در تعیین بردار ویژه های ماتریس اصلی بکار میرود ،بعد از ساخت H مقادیر ویژه را محاسبه میکنیم این مقادیر ویژه تقریبی از مقادیر ویژه ماتریس A هستند ،اگر به اندازه کافی به مقادیر ویژه A نزدیک باشند میتوانیم همین ها را خروجی الگوریتم داده که برای این کار باید بردار ویژه ماتریس A را از بردار ویژه ماتریس H تقریبی بدست بیاوریم(u بردار ویژه ماتریس Aدر نظر بگیرید که از ضرب ستونی ماتریس Vدر بردار ویژه ماتریس Hبدست میاید) حالا با استفاده از این بردارu خطایA*u-landa *u را بدست میاوریم که باید کوچک باشد( در حالت دقیق بایدA*u=landa *u باشد در هر ماتریسی که u بردار ویژه اش هست و landa مقدار ویژه ) و در نهایت هم از همه خطاهای بدست آمده در هر مرحله یک پلات رسم میکنم(همه خطاها روی یک شکل) اگر خطا زیاد بود، بردار اولیه جدید را با چبیشف بدست میاوریم و الگوریتم را از اول اجرا میکنیم با بردار اولیه جدید برای الگوریتم آرنولدی و همه روند تکراری بالا فقط با یک بردارv دیگر تا جواب با خطای کم به ما بدهد.
ماتریسVدر طی الگوریتم آرنولدی تولید میشود و همراه با ماتریس Hخروجی الگوریتم هست
خطا کمتر از1-e7(١٠^_٧)در نظر بگیرید(e)
بردار ویژه ماتریس Aبا توجه به بردار ویژه ماتریس Hبصورت u=v*y بدست میاید که:
y بردار ویژه i ماتریسH
vستون i ماتريس H
uبردار ویژه iماتریسA