توضیحات

 عنوان فارسی: روش های LQR، LQG و LQG/LTR

• روش LQR
• فیدبک حالت کامل
• اصل حداکثر
• راه حل LQR
• ویژگی ها و استفاده از LQR
• روش LQG
• روش LQG/LTR
• حل کلی مسئله LQG/LTR
• روش اولیه LQG/LTR
• روش دوگان LQG/LTR
• منابع

روش LQR

روش بهینه سازی خطی یک نوع ویژه از بهینه سازی است. که در آن تمام اجزا خطی فرض می شوند. کنترلرهای خطی با استفاده از اندیس های کاربردی بدست می آیند. روش هایی به این قبیل را LQR می نامند.

سیستم زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید:

معیارهای عملکرد را میتوان به صورت زیر نوشت:

روش LQR را میتوان برای زمان های نهایی درنظر گرفت. همچنین این روش برای ماتریس های متغیر با زمان قابل درنظرگیری است. LQR را میتوان در روش های مختلف غیر خطی وابسته به حالت نیز بسط داد.

روش LQR تمام حالات را در نظر می گیرد.روش LQR فرم زیر را دارد:

که در آن P به صورت مثبت داده شده است.

این معادله معادله ریکاتی نامیده می شود و قابل حل است اگر و تنها اگر زوج A  و B قابل کنترل باشند و (Q,A) قابل پیش بینی.

(A,B) را در طراحی میتوان مشخص کرد در حالی که (Q,R) پارامترهای کنترلی هستند. مقدارهای بزرگ Q نشان دهنده x بوده و مقدار بزرگ R نشان دهنده استفاده از U برای کنترل است.

در LQR ما فرض می کنیم که تمام حالات برای تمام زمان ها قابل حل هستند. همچنین در تمامی حالت ها نویز وجود دارد.

شکل ساده ای از حلقه دادن در سیستم های برداری به صورت وسیع به سیستم های MIMO‌بسط داده نشده است که به صورت عمده در ماتریس های تبدیل و توابع تبدیل استفاده شوند. ایده به صورت کلی به طراحی سیستم های MIMO نزدیک است. کنترلرهای بهینه که بهترین نسخه ممکن هستند بر اساس شکل متریک تنها پایدارسازهای MIMO هستند.

فیدبک حالت کامل

برای اشتقاق تنظیم کننده های درجه دوم خطی، ما فرض می کنیم که معادله به صورت فضای حالت زیر نوشته شده باشد

و تمام n‌حالت ممکن برای کنترلر ممکن هستند. بهره فیدبک یک ماتریس K است که به صورت زیر نوشته می شود:

X نشان دهنده بردار حالت های مد نظر است و به عنوان ورودی خارجی عمل می کند. ماتریس A به صورت حلقه بسته  می باشد و ماتریس B به صورت حلقه بسته BK‌است.

سیستم حلقه بسته به همان اندازه که ورودی دارد خروجی هم دارد. بعد ستونی B‌برابر است با تعداد کانال های ممکن در u و باید برابر ابعاد تعداد سطرهای K باشد. مکان یابی قطب نشان دهنده فرآیند قطب ها است.

اصل حداکثر

در ابتدا یک فرآیند کلی برتی حل بهینه مسائل کنترل توسعه می دهیم. با استفاده از حساب جامع متغیر ها شروع می کنیم. با بیان مسئله له صورت ساکن در زمان مسئله به این صورت نوشته می شود:

که در آن  هزینه ترمینال، هزینه کلی J که مجموع هزینه های ترمینال است. ما فرض می کنیم که  نامنفی است. اولین قدم برای تقویت هزینه استفاده از بردار لاندا است.

به صورت واضح لاندا میتواند هرچیزی که ما انتخاب می کنیم باشد. در طی مرحله بهینه سازی تغییرات در J و تابع بالا تقلیل پیدا می کند. این قضیه منجر به این می شود که J انتخاب شده است تا به صورت پیوسته در زمان و x باشد. پس متغیرها به صورت زیر بازنویسی می شوند.

که زیرنویس ها نشان دهنده عمل مشتق هستند آخرین عبارت را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد.

پس داریم:

حال آخرین عبارت صفر است چون که میتوانیم شرایط اولیه را با تغییر چیزی در زمان تغییر بدهیم.

به این ترتیب J نشان می دهد که سه جزء تغییرات وجود دارند که به صورت مستقل باید صفر شوند.

شرط های دوم و سوم به صورت واضح با تنظیم زیر برآورده می شوند

راه حل LQR

در حالتی که رگولاتور خطی درجه دوم باشد داریم:

که در آن شرط مثبت بودن L نشان می دهد که Q و R هر دو مثبت هستند در مورد شرایط دینامیکی خطی نیز داریم:

بخاطر اینکه سیستم ها خطی هستند ما سعی کردیم ارتباط بین لاندا و P را پیدا کنیم. با افزودن این به معادله مشتق لاندا و با استفاده از مشتق x و زیر مجموعه برای u ما بدست می آوریم:

این باید برای تمام x ها با استفاده از این حقیقت معادله و همچنین معادله ماتریس ها، ماتریس ریکاتی و حل حالت گذرا به صورت زیر داده شده است:

ویژگی ها و استفاده از LQR

بهره ثابت. روش LQR یک ماتریس بهره ثابت K تولید می کند که یک سیستم دینامیکی نیست. چرا که ترتیب سیستم حلقه بسته مانند سیستم اصلی است.

استحکام. روش LQR به بهره ی بینهایت می تواند برسد. با درنظر گرفتن اینکه روش های بیان شده میتوانند به بهره مناسب بردسند روش LQR تضمین می کند که زاویه گاما از 60 درجه بیشتر است.

متغیرهای خروجی. در بسیاری از موارد این حالت x نیست که باید حداقل شود، بلکه متغیر خروجی y است. در این مورد مامتغیر وزنی Q تعریف کرده ایم.

رفتار حلقه بسته. وقتی که  باشد تابع هزینه با استفاده از خطای خروجی y تعریف می شود. همچنین خطایی در استفاده از u نیست. دو نوع گروه تابع حلقه بسته وجود دارد. اول قطب ها در ناحیه پایدار قطب صفر قرار دارند و دوم در ناحیه ناپایدار. قطب های باقیمانده در قضیه root locus  بررسی می شوند.

 توجه:

• برای دانلود فایل word کامل ترجمه از گزینه افزودن به سبد خرید بالا استفاده فرمایید.
• لینک دانلود فایل بلافاصله پس از خرید بصورت اتوماتیک برای شما ایمیل می گردد.

سفارش تحقیق

به منظور سفارش تحقیق مرتبط با رشته تخصصی خود بر روی کلید زیر کلیک نمایید.

سفارش تحقیق